Como vimos la semana pasada, los centros de círculos con radios 1, 2 y 3 que son tangentes entre sí son los vértices de un triángulo rectángulo. Y no cualquiera, sino el de lados 3, 4 y 5, nada menos que el triángulo sagrado de los egipcios, quienes sabían que el ángulo opuesto al lado mayor de este triángulo era el correcto, aunque no es seguro que generalizaran esto. El resultado se aplica a todos los triángulos cuyos lados satisfacen la relación a² = b² + c² (es decir, conocían el teorema de Pitágoras).
Salva Fuster señala: “Para las circunferencias tangentes entre sí con radios 1, 2 y 3, es fácil comprobar que el radio de las circunferencias una vez dibujados sus centros de manera que formen un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 forman el círculo tangente exterior a estos tres, será 6, y su centro se encuentra exactamente en el punto que formaría un rectángulo con los otros tres centros.
Determinar el radio del círculo tangente interior utilizando métodos geométricos no es tan fácil. Podemos recurrir a la fórmula:
Q² + R² + S² + T² = 1/2 (Q + R+ S + T)²
Pero como hemos visto, los cálculos son largos y engorrosos, por lo que conviene utilizar otra fórmula que nos dé T directamente:
T = Q + R + S + 2√(QR + QS + RS)
T = 1 + 1/2 + 1/3 + 2√(1/2 + 1/3 + 1/6) = 11/6 + 2 = 23/6
Por lo tanto, el radio del círculo tangente interior es 1/T = 6/23
Si aplicamos el valor negativo de la raíz:
T = 11/6 – 2 = –1/6
Esto corresponde al radio del círculo tangente exterior, que, como hemos visto, mide 6 unidades si se considera su curvatura negativa (en el caso del círculo tangente interior, los cuatro círculos se «besan» con sus partes convexas, mientras el círculo tangente exterior se besa). los otros tres con su parte cóncava).
Del triángulo sagrado al pentagrama diabólico
El Triángulo de Oro egipcio no es el único polígono sagrado, dorado, místico… o maldito. Sin salir del reino de los triángulos, el triángulo equilátero sería el triángulo sagrado por excelencia, ya que representa al mismo Dios (la Santísima Trinidad), y no sólo para el cristianismo: para el hinduismo también es el símbolo de la tríada divina: Brahma, Vishnu. y Shivá.
Entre los cuadrados destaca el rectángulo áureo, cuyos lados están en la -divina- proporción de 1:1.618 (¿recuerdas por qué o lo puedes deducir?). El conocido folio DIN A4 de 210 x 297 mm no está fabricado en oro, pero tiene una interesante característica geométrica que lo convierte en algo muy especial (¿cuál es?). Otro rectángulo omnipresente es el rectángulo de dominó o tatami con lados en una proporción de 1:2, que a menudo encontramos con ladrillos y tejas porque tiene la ventaja de poder conectar dos lados más pequeños con uno más grande para crear paredes o pisos de baldosas. .
En el caso del pentágono regular, son sus diagonales las que determinan la figura sagrada: el pentagrama, pentagrama o pentalfa, la estrella de cinco puntas venerada por los pitagóricos. Entre otras sutilezas geométricas, en la estrella pentagonal está incrustada la proporción divina antes mencionada. (¿Puedes encontrarlo?).
Si dibujamos las diagonales del pentágono interior del pentagrama, obtenemos una diferente, pero invertida, una inversión que no es sólo espacial, ya que el pentagrama invertido es un símbolo diabólico cuya maldición te alcanzará si no determinas la proporción. entre el área del pentagrama y el área de su antipentagrama interior. O si no los dibujas correctamente, primero debes dibujar un pentágono regular usando una regla (sin escala) y un compás.
En el caso de un hexágono regular, la construcción es muy sencilla, ya que el lado del hexágono es igual al radio del círculo circunscrito, y es igualmente fácil construir un triángulo equilátero o un cuadrado; pero en el caso del pentágono costará un poco más. Si lo consigues, prueba con otros polígonos regulares: octágono, eneágono, decágono… hasta llegar al esquivo heptágono (polígono de 17 lados). Ánimo, Gauss lo consiguió con sólo 19 años.
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