Las coordenadas de cualquier punto (P) de un círculo, cuyo centro coincide con la intersección de los ejes (O), junto con el radio correspondiente, forman un triángulo rectángulo, en el que la hipotenusa es el radio (R) , y los catetos son las coordenadas ( x, y), por lo tanto, según el teorema de Pitágoras, siempre se aplica la relación x² + y² = R2. Si el radio mide 5 unidades, como en el caso de la semana pasada, la ecuación solicitada es x² + y² = 25.
La geometría analítica y sus coordenadas cartesianas fueron sin duda la contribución más importante de Descartes a las matemáticas, pero no la única. A menudo retomaba temas que ya se habían tratado tiempo atrás y les daba un nuevo impulso, y en este sentido cabe destacar el teorema del defecto angular (en el que nos centraremos en otra ocasión) y el teorema del círculo tangente.
El teorema de las cuatro circunferencias tangentes.
Si tenemos tres círculos tocándose de dos en dos, siempre podemos dibujar un cuarto círculo que sea tangente a los tres y pueda estar inscrito o circunscrito a ellos.
La cuestión fue planteada -hay que citar de nuevo al Gran Geómetra- por Apolonio de Perge, y Descartes la retomó a mediados del siglo XVII, estableciendo una conexión entre las respectivas curvaturas de los cuatro círculos (recordemos que la curvatura de a ( La circunferencia es el recíproco de su radio, con signo positivo o negativo según consideremos su parte convexa o cóncava.)
En 1936, el químico inglés Frederick Soddy (premio Nobel de Química en 1921) redescubrió el teorema y publicó su versión en la revista Naturaleza en forma de poema humorístico titulado El beso precisoen el que también lo extiende al caso de cinco esferas tangentes entre sí (si hablas inglés te recomiendo que busques el original, que se puede encontrar fácilmente en Internet; en caso contrario tendrás que conformarte con mi versión apresurada) en eneasibos):
El beso preciso
Tal vez un beso para dos
No incluye trigonometría.
No es así cuando cuatro personas se besan.
cada uno a los otros tres,
porque por eso tienen que ser
o tres a uno o uno a tres.
Si uno de tres lo es, recibe
Los tres besos desde fuera.
Si tres en uno, que así sea.
Besó internamente durante tres.
Logran besar cuatro círculos.
Cuanto más pequeñas, más curvas.
La curvatura se invierte
el radio, la distancia al centro.
Y aunque esto asombró a Euclides,
no es necesario ningún axioma.
Líneas rectas sin curvatura,
con líneas cóncavas de signo menos,
es la suma de sus cuadrados
medio cuadrado de la suma.
Al espiar el desorden esférico,
de la guardia oscilante
es la ardua tarea
porque es la esfera más promiscua,
y ahora hay más de unas pocas parejas,
Hay cinco esferas que se besan.
Pero las señales son como antes,
y osculando de uno a cuatro cada uno,
es el cuadrado de la suma
tres veces la suma de los cuadrados.
Después de una lectura atenta del poema, ¿podrás traducirlo al lenguaje matemático, es decir, formular el teorema de Descartes, tal como lo hacen los lectores de Naturaleza?
Previamente, puedes intentar dibujar tres círculos con radios 1, 2 y 3 tangentes de dos en dos utilizando únicamente un compás (físico o mental). ¿Cuál es el radio del círculo exterior que toca a estos tres? ¿Y el que tiene el círculo tangente interior?
puedes seguir TEMA En Facebook, X Y Instagramo regístrate aquí para recibirlo Nuestro boletín semanal.
Suscríbete para seguir leyendo
Leer sin límites
_