El segundo verso de una sextina, como vimos la semana pasada, reordena los finales de los seis versos de ABCDEF a FAEBDC. Si aplicamos el mismo criterio para pasar del segundo al tercero, del tercero al cuarto, etc. obtenemos el orden:
ABCDEF, FAEBDC, CFDABE, ECBFAD, DEACFB, BDFECA.
Y si reemplazamos las tradicionales mayúsculas, que en notación poética denotan los finales de los versos del gran arte, por números y ordenamos verticalmente las secuencias correspondientes a estrofas sucesivas, obtenemos el siguiente esquema:
1 6 3 5 4 2
2 1 6 3 5 4
3 5 4 2 1 6
4 2 1 6 3 5
5 4 2 1 6 3
6 3 5 4 2 1
Como no hay números repetidos en ninguna fila o columna, el esquema de Sestina se parece a un Sudoku reducido con los números del 1 al 6 en lugar del 1 al 9. Sin embargo, para los matemáticos, es un cuadrado latino frente a un Sudoku. Y esta vez la poesía pudo haber precedido a las matemáticas, ya que las primeras sextinas fueron compuestas en el siglo XII por el trovador occitano Arnaut Daniel, mientras que las primeras plazas latinas (bautizadas mucho más tarde por Euler) de las que hay noticias que se conocen wafq majazi de un manuscrito árabe del siglo XIII.
Teoría del diseño combinatorio
En cuanto al problema pendiente (averiguar de cuántas maneras se pueden agrupar siete elementos en siete grupos de tres elementos cada uno, dado que deben aparecer en el mismo número de grupos y de dos en dos en un solo grupo), aquí está la solución de Ignacio Alonso:
“Cada elemento vendrá en tres tríos. Excelente. Por ejemplo, el 7, el trío asociado que contiene al 6, estará con los dúos 65, 64… 61 (5 posibles). Si el primero es 765, la segunda conexión que contiene el 4 podría ser 743, 742 o 741 (3 posibilidades) y la tercera, conectada a 765 y 743, solo podría ser 72. Un total de 5 × 3 = 15 grupos de tres tríos posibles contienen el 7. Los cuatro tríos restantes sin el 7, que se asignan a un grupo de estos 15, ya sea 765, 743, 721, contienen el doble de 65, 64. .. 61 .Para el 6, los posibles son 642, 631 o 641, 632 (2 posibilidades), para cada uno de estos dos, ej. Ej. 642, 631, solo un compañero, 541, 532 para completar este grupo de cuatro tríos, entonces 15 × 2 = 30 son los grupos de 7 tríos posibles.»
Como hemos visto, este problema podría verse como una versión simplificada del clásico «problema de la colegiala» de Kirkman, del cual sólo hay siete soluciones no isomorfas (es decir, estructuras no equivalentes). Pero si incluimos soluciones isomorfas el número aumenta significativamente (¿puedes calcular eso?).
Estos problemas -y también los de los cuadrados latinos- tienen que ver con la llamada «teoría del diseño combinatorio», que proviene de las innovadoras contribuciones de Leonard Euler, Thomas Kirkman, Jacob Steiner, Édouard Lucas y otros grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX. El siglo XVIII se desarrolló hace siglos. XIX; Teoría, que, por cierto, le debe mucho a las matemáticas recreativas. Pero ese es otro artículo.
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