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El número de DNI se utiliza para identificarnos de forma única y se selecciona por orden de una serie de números asignados aleatoriamente a cada comisaría por la Dirección General de la Policía. Sin embargo, la letra se determina a partir del número asignado mediante un algoritmo matemático. Esto sirve para detectar posibles errores así como falsificaciones.
Este algoritmo se basa en la llamada aritmética de módulos o relojes, con la que se describen procesos cíclicos, como el paso del tiempo con horas, días o meses. Después de las doce vuelve a ser la una, después del último día del mes vuelve a ser el día uno ya finales de diciembre empieza enero. En esta aritmética contamos cíclicamente, lo que significa que cuando alcanzamos un número determinado, que llamamos módulo, comenzamos de nuevo.
Podemos pensar en él como un reloj cuyas horas son números enteros consecutivos que recorremos. Por supuesto, estos relojes no tienen que ser de 12 horas, pero podemos crearlos con cualquier número entero. También tienen otra característica especial: comenzamos a contar desde cero, por lo que un reloj de ocho horas, por ejemplo, tiene los números de cero a siete.
La aritmética modular fue estudiada sistemáticamente por primera vez por Carl Friedrich Gauss en su famoso trabajo Disquisiciones aritméticas de 1801. Gauss definió la congruencia de la siguiente manera: dos números enteros a y b son congruentes módulo algún otro número n si el resto de dividir (sin lugares decimales) a y b por n es igual. Esto es equivalente a b – a es un múltiplo de n Por ejemplo, 6 y 18 módulo 12 son congruentes. Es decir, si dividimos 6 entre 12, nos queda 0 como cociente y 6 como resto y viceversa, si dividimos 18 entre 12, nos queda un cociente de 1 y también un resto de 6. En el reloj , esto significa que 18 6 es.
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Al igual que con nuestra numeración habitual, también podemos operar con aritmética modular: cuando tenemos dos pares de números que son módulos congruentes NO, así serán sus sumas; y lo mismo es cierto para la resta y la multiplicación.
Para el DNI se utiliza el módulo de congruencia 23. El procedimiento consiste en calcular el resto de dividir el número del DNI por 23.
Por lo que si cometemos un pequeño error al introducir nuestro DNI, el nuevo número no se corresponderá con la letra introducida y aparecerá un aviso en cualquier ordenador. Pero, ¿por qué se hace con solo 23 letras y no con todo el alfabeto? El O y el I se descartan debido a su gran parecido con el 0 y el 1. Por otro lado, la Ñ podría causar problemas en el exterior. Si nos fijamos en las 24 letras restantes, el proceso no será lo suficientemente fiable. Esto se debe a la gran cantidad de divisores que tiene el número 24.
En concreto, si cambiamos un número, podríamos terminar con dos números asociados a la misma letra. Supongamos que cambiamos un dígito en los primeros cinco sumando o restando 3, por ejemplo si escribimos 27526803 en lugar de 27523803. Con este cambio, la diferencia con el número original es un 3 seguido de al menos tres ceros (por ejemplo, 3000 en nuestro caso), que siempre es un múltiplo de 24. Por lo tanto ambos números módulo 24 son congruentes y corresponden a la misma letra.
Sin embargo, considerando que el módulo 23 es un número primo, este tipo de error no podría ocurrir. Al cambiar un solo dígito, la diferencia entre los dos números es un solo número seguido de ceros, que nunca será un múltiplo de 23. Entonces cada letra, la U, se elimina, dejándonos con 23 y un sistema mucho más confiable.
No solo se calcula congruentemente la letra del DNI, sino también el IBAN de las cuentas bancarias. Además, esta aritmética es de gran importancia en criptografía. Sin entrar en más detalles, el clásico cifrado César, que consiste en desplazar el alfabeto un número fijo de lugares, es una aplicación directa de las congruencias. Por ejemplo, en César 5, cada letra se cambia por la quinta que se encuentra después, es decir, la A pasa a ser F, la B pasa a ser G, y así sucesivamente. Trabajamos el módulo 27, por lo que las últimas letras del abecedario se sustituyen por las primeras. Por ejemplo, «congruencias» se escribiría como «Htrlwzjrhnfx». Otros métodos más modernos y seguros como RSA también se basan en congruencias. Esto aprovecha las propiedades más complejas de la aritmética modular, como B. la existencia y propiedades de los elementos inversos.
Alba García Ruíz Y Javier Peñafiel son científicos posdoctorales en el Instituto de Ciencias Matemáticas
cafe y teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y el entorno en el que se crea, coordinada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que investigadores y miembros del centro describen los últimos avances en esta disciplina, puntos de encuentro entre las matemáticas y otros para compartir en redes sociales y expresiones culturales y recordar a quienes moldearon su desarrollo y supieron convertir el café en teoremas. El nombre recuerda la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: «Un matemático es una máquina que convierte el café en teoremas».
Edición y coordinación: Ágata A. Timón G. Longoria (ICMAT).
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