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Las elecciones para renovar el Parlamento Europeo tendrán lugar entre el 6 y el 9 de junio. Para elegir a sus representantes, los ciudadanos cuentan con un sistema electoral que de alguna manera refleja sus preferencias. Sin embargo, como cualquier otro sistema electoral, el método utilizado tiene sus limitaciones; No es perfecto: esta afirmación se basa en un teorema, el teorema de imposibilidad de Arrow. Esta y otras herramientas matemáticas nos permiten analizar y comprender los sistemas electorales; Por ejemplo, afirman que no existe ningún sistema electoral mínimamente democrático en el que no pueda realizarse la llamada votación útil.
El voto beneficioso, es decir, elegir una opción distinta a la preferida con el objetivo de maximizar la satisfacción con el resultado electoral, puede implicar ciertos dilemas. Por un lado, se trata de un procedimiento más complicado que simplemente votar por la opción preferida, ya que es imposible determinar qué alternativa se debe elegir sin conocer las preferencias del resto de electores, que no podemos saber con seguridad. Por otro lado, esta estrategia significa que nuestra votación no refleja nuestras verdaderas preferencias políticas.
Pero, ¿podríamos definir un sistema electoral en el que se garantizara a todos los participantes que el resultado de la elección, si votaran por su candidato favorito, sería al menos tan bueno para ellos como el que resultaría si eligieran una estrategia electoral diferente? ? Usando matemáticas podemos ver si existe este sistema de votación ideal, en el que un voto útil no tendría sentido.
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Para realizar el análisis, nos centraremos en el tipo de elección más simple, en la que sólo se elige un candidato, por ejemplo, un presidente. En este contexto, podemos considerar un sistema electoral como un “juego” que ofrece la teoría de la elección social, cuyo desarrollo depende de la estrategia electoral de cada elector y cuyo resultado es el candidato que gana las elecciones. Cuando un votante tiene una estrategia electoral que garantiza que esté tan satisfecho con el resultado como o mejor que cualquier otra estrategia, se denomina estrategia dominante. Cuando cada votante, independientemente de sus preferencias, siempre tiene una estrategia dominante, se dice que es un juego simple. En este caso, los jugadores no tienen que devanarse los sesos para encontrar la estrategia que les resulte más ventajosa, ya que siempre podrán utilizar la estrategia dominante que les garantice un retorno igual o mayor que cualquier otra.
Entonces, el sistema de votación ideal que estamos buscando es un juego simple en el que la estrategia de votación honesta (cada persona vota por su candidato preferido) sea dominante para todos los jugadores. Sin embargo, como demostró el filósofo Allan Gibbard en 1973, no es fácil construir juegos simples con buenas propiedades. De hecho, el teorema de Gibbard establece que si un juego es simple y permite al menos tres resultados diferentes, entonces necesariamente lo es: dictatorial. Es decir, hay un jugador – llamado dictador– que tiene una estrategia infalible que le permite lograr algo cualquier resultado; Entonces, si el dictador quiere que el resultado del juego sea cierto, siempre tiene una estrategia para lograrlo, independientemente de las estrategias que elijan los demás jugadores.
Por tanto, el teorema de Gibbard muestra que el sistema electoral ideal que buscamos, en el que el voto honesto es la estrategia óptima, no puede existir, de lo contrario sería un sistema dictatorial. En resumen, independientemente del sistema de votación que utilicemos, siempre habrá situaciones en las que la estrategia de votación útil tenga sentido y, en consecuencia, los dilemas resultantes sean inevitables. La vida no es tan fácil.
Andrés Laín Sanclemente Es estudiante de doctorado en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).
Redacción y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).
Café y teoremas Es un campo dedicado a las matemáticas y el entorno en el que surgen, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT). En el que investigadores y miembros del Centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de contacto entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron convertir el café en teoremas. El nombre recuerda a la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que convierte el café en teoremas”.
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