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Sobre el tema de los azulejos cuadrados planteado la semana pasada, Benedicto Torres dice:
Si para los siguientes valores de N y B la superficie es S:
N = 8, B = 0 => S = 3 N = 9, B = 0 => S = 3′5 N = 10, B = 0 => S = 4
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N = 8, B = 1 => S = 4 N = 9, B = 1 => S = 4′5 N = 10, B = 1 => S = 5
Esto da como resultado: S = (N-2)*1/2 + B
Consideración de superficies:
Mínimo con N = 3 y B = 0 => S = (3-2)*1/2 + 0 = 1/2 Máximo con N = 26 y B = 28 => S = (26-2)*1/2 + 28 = 40
Francisco Montesinos responde esto (solo para matemáticos):
Una forma divertida de llegar a la misma función es probar primero una función lineal en N y B del tipo F(N, B) = aN + bB + c. Si luego tomamos los ejemplos más simples, vemos que F(N + 1,B) – F(N, B) = 1/2. Pero esto no es más que la derivada parcial (quizás sería más apropiado llamarla pseudoderivada) de F a N, cuyo valor es a, de modo que a = 1/2. De la misma forma llegamos a que la derivada parcial de F a B debe ser: F(N, B+1) – F(N, B) 1, entonces b = 1. Finalmente aplicamos la fórmula pe En el caso (N, B) = (4, 0) obtenemos c = -1. Es sorprendente que una función lineal resuelva el problema, aunque reflexionando hay razones por las que debería ser así.
Y respecto al problema del simbionte, Bretos Bursó propone esta serie de cuatro (o estas cuatro series):
1) En cada paso, sacamos al azar una bola de una urna y nos detenemos si no es blanca. Al principio hay 1 bola verde y 1 bola blanca Cada vez que sale blanca la volvemos a meter en la urna junto con una bola roja y pasamos al siguiente paso. ¿Cuál es la probabilidad de sacar la bola verde al final?
2) Lo mismo si al principio hay 1 bola verde y 1 bola blanca y cuando salga blanca agregamos 1 bola roja y 1 blanca.
3) Lo mismo si al principio hay 2 bolas rojas y 1 bola blanca y si sale blanca entonces agregamos 1 bola verde y 1 bola blanca.
4) Lo mismo ocurre si al principio hay 1 bola verde y 3 bolas blancas, y cuando salga blanca añadimos 2 bolas rojas y 2 blancas.
Los lectores habituales quizá recuerden un artículo de hace unos años sobre la Urna de Pólya (llamada así en honor al matemático húngaro George Pólya), de la que los cuatro problemas anteriores son variantes. Y aprovecho para repetir algunas preguntas que quedaron sin respuesta en ese momento: ¿Tiene algo que ver el hecho de que los ricos sean cada vez más ricos con la urna de Pólya? ¿Y la elección de una mujer que duda entre dos pretendientes (situación típica de las novelas románticas)?
Las urnas de Porcia
Y hablando de urnas y pretendientes, casualmente (o tal vez no) una sorprendente similitud de la urna de Pólya nos lleva a las de Portia encontradas en el fascinante libro de Raymond Smullyan. ¿Cómo se llama este libro? Conducen a una interesante serie de acertijos lógicos. Como esto:
Porcia, la protagonista de El mercader de VeneciaTiene tres urnas, una de oro, otra de plata y otra de plomo, y en una de ellas está su retrato. Y para recibir su mano, el actual pretendiente deberá deducir en qué urna se encuentra el retrato de Portia utilizando la siguiente información:
En la urna de oro hay un cartel que dice: “El retrato no está en la urna de plata”.
En la urna de plata hay un cartel que dice: “El retrato no está en esta urna”.
En la urna guía hay un cartel que dice: “El retrato está en esta urna”.
¿En qué urna está el retrato si sabemos que al menos una de las tres afirmaciones es verdadera y al menos una es falsa?
