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Si tuviéramos como respuesta una determinada cantidad de dígitos, ya no sería un número infinito. Lo realmente importante cuando hablamos de números infinitos es que no tendrán fin. Entonces, por ejemplo, si decimos un millón de dígitos, ese número ya es finito porque siempre podemos pensar en sumar otro dígito. Pero la pregunta tiene mucho sentido y ha dado lugar a diversas paradojas a lo largo de la historia de las matemáticas.
La idea del infinito es relativamente nueva y se debe en parte a nuestro sistema numérico. Civilizaciones como la egipcia o la azteca con sistemas numéricos no posicionales nunca consideraron cantidades mayores a ciertos valores porque ni siquiera tenían símbolos que les permitieran representar dichas cantidades, y por lo tanto sucedió lo mismo con el concepto de infinito. Sin embargo, el infinito implícitamente subyace a sistemas posicionales como nuestro sistema numérico, y la forma en que se representan las cantidades es clave para desarrollar una concepción intuitiva del infinito. En el siglo XX, el matemático alemán David Hilbert descubrió que en la realidad no existe el infinito. Sostuvo que no era posible dividir la materia indefinidamente y que el infinito podría ser una idea necesaria en nuestro pensamiento incluso si no existe en la realidad. El concepto de infinito parecía estar estrictamente definido, pero siguió siendo fuente de controversias y paradojas.
Actualmente, el infinito en matemáticas tiene dos significados. El primero de ellos es el infinito, entendido como algo que no tiene fin, que puede durar para siempre, y que en matemáticas llamamos infinito potencial. La segunda opción es considerar el infinito como un todo, como un proceso consumado cuyos límites se han alcanzado, pensando en el conjunto de todos los números sin pensar en cada uno de ellos individualmente, que es lo que llamamos infinito actual. Pero debes saber que algunos de los grandes matemáticos como el francés Augustin Louis Cauchy o el alemán Carl Friedrich Gauss negaron la existencia de este infinito presente.
Volviendo a tu pregunta, como dije, el sistema de numeración actual nos permite pensar en el concepto de infinito. En este caso, si tenemos una cantidad de dígitos concretos, sean los que sean, siempre podemos imaginar un número con un dígito más, por lo que no es infinito. Es decir, no existe tal valor.
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Pero sólo porque ese número no exista no significa que el infinito no exista. Cuando hablamos de números, siempre podemos sumarle otro dígito para que no sea infinito. Ésta es, por ejemplo, la idea que tenía Gauss. Pero desde finales del siglo XIX el concepto cambió. Fue entonces cuando se propuso el infinito actual y consistió en definir el infinito como una totalidad, como límites. Este paso nos permite relacionar el infinito con los límites de funciones o secuencias. Por ejemplo, si imaginamos una secuencia con números pares: 2, 4, 6, 8, 10… Esta secuencia crece hasta el infinito y siempre podemos imaginar un número mayor. El límite de esta secuencia es infinito. Pero si pensamos en una secuencia que es: 1, 1/3, 1/4, 1/5… Esta secuencia va decreciendo, aunque no decrece hasta menos infinito, sino que decrece hacia 0, pero nunca llega a 0. Si pudiéramos poner infinitos números en el denominador de esta fracción llegaríamos a 0, pero solo lo alcanzamos en el límite, es decir, la secuencia tiene como límite 0 ya que el denominador tiende al infinito.
Y ocurre lo mismo con las funciones; Si hablamos de números naturales para sucesiones, hablaríamos de números reales para funciones. Los números reales son aquellos que nos permiten representar todos los valores en una línea recta, una línea infinita que contiene números negativos y positivos e incluye, entre otras cosas, los números naturales. Estos son los que sirven para contar elementos: 1, 2, 3, 4… y así hasta el infinito.
Mónica Arnal Palacián Es licenciada en matemáticas y doctora en educación. Es profesora de la Universidad de Zaragoza y realiza investigaciones en educación matemática.
Pregunta enviada por correo electrónico desdeÁngel Gael Romero
Coordinación y redacción:Victoria Toro
Nosotros contestamos es una consulta científica semanal patrocinada por laDr. Fundación Antoni Estevey el programa L’Oréal-Unesco “Por las mujeres en la ciencia”, que responde a las preguntas de los lectores sobre ciencia y tecnología. Son científicos y tecnólogos, socios deAMIT (Asociación de Mujeres Investigadoras y Tecnólogas), los que responden a estas dudas. Envía tus preguntas a[email protected]o en Twitter #nosotrasrespondemos.
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